Сложение и вычитание

Сложение и вычитание чисел - это фундаментальная тема в математике. Освоив её, ученик постепенно сможет переходить к изучению и других, более сложных математических действий.

Сложение - это арифметическое действие, в результате которого одно число увеличивается на количество единиц, содержащихся в другом числе.

Графический символ сложения - знак "+" (плюс). Он записывается между складываемыми числами, у которых, кстати, есть особые названия. Рассмотрим компоненты сложения на следующем примере:

5 + 3 = 8

5 - это первое слагаемое;
3 - второе слагаемое;
8 - сумма слагаемых чисел, или же просто сумма.

Числовое выражение 5 + 3 = 8 является примером сложения без перехода через десяток. Что это значит? Сейчас поясним.

Первое слагаемое 5, которое мы увеличиваем на 3 единицы, стоит в первом десятке. Это значит, что оно находится в числовом ряду от 0 до 10. Прибавляя к 5 число 3, мы получаем 8 - и это число, как и первое слагаемое 5, находится в первом десятке.

Рассмотрим другой пример: 12 + 7 = 19.

Первое слагаемое 12 относится ко второму десятку, потому что стоит в числовом ряду от 11 до 20. Прибавляя к 12 число 7, мы получаем 19. И так как и число 19 находится в ряду до 20, мы логично делаем вывод, что сумма осталась в том же десятке, что и первое (большее) слагаемое. Следовательно, перехода через десяток и здесь не было.

Из этого всего следует, что сложение без перехода через десяток – это математическое действие сложения, в результате которого сумма остаётся в том же десятке, что и большее слагаемое.

Чтобы потренироваться и закрепить такой вид сложения, найди сумму слагаемых:

6 + 2 = 12 + 3 = 1 + 14 = 17 + 2 =
1 + 8 = 15 + 1 = 7 + 3 = 2 + 5 =
3 + 4 = 13 + 6 = 5 + 11 = 6 + 3 =

Но есть и другой вид сложения - сложение с переходом через десяток. Например, сами по себе числа 8 и 5 относятся к первому десятку, однако если их сложить:

8 + 5 = 13

То их сумма - число 13 будет относиться уже ко второму десятку, ведь оно стоит в числовом ряду от 11 до 20. Чтобы получить число 13, во время сложения мы перешагнули через условную границу, разделяющую первый и второй десятки - число 10. Сложение такого типа удобно выполнять, раскладывая второе слагаемое по составу - на удобную пару чисел. В нашем примере 5 удобно разложить на 3 и 2. Чтобы от 8 дойти сначала до 10 (для этого требуется 2 единицы), а затем, перешагнув в следующий десяток, дойти оставшиеся 3 единицы.

И получается, что 8 + 5 = 10 можно представить как

8 + 2 = 10, а 10 + 3 = 13.

Вообще, изучая сложение чисел с переходом через десяток, удобно использовать числовой луч. На нём хорошо видно, сколько "шагов" необходимо сделать от первого слагаемого до суммы. Чётко прослеживается и сам переход через десяток - число 10.

На числовом луче ниже наглядно показано числовое выражение 3 + 9 = 12

Перестановка слагаемых

Ещё один важный момент, который мы хотим рассмотреть в отношении сложения. Взгляните на два числовых выражения:

3 + 2 = 5

2 + 3 = 5

Мы видим, сумма в обоих случаях одинакова. Да и слагаемые одни и те же - 3 и 2, только в первом случае число 3 является первым слагаемым, а число 2 - вторым. А во втором примере: 2 - это первое слагаемое, а 3 - второе. Однако очерёдность слагаемых на результат не повлияла, из чего мы можем сделать вывод и сформулировать переместительный закон сложения, который гласит: от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Вот ещё примеры. Найдите суммы в каждой паре числовых выражений и сравните результаты. Доказывают ли они переместительный закон сложения?

4 + 5 = 12 + 7 = 2 + 8 = 6 + 9 =
5 + 4 = 7 + 12 = 8 + 2 = 9 + 6 =

Азы сложения изучили, теперь давайте разберёмся с действием, ему противоположным. Называется оно вычитание.

Вычитанием - это арифметическое действие, в ходе которого одно число уменьшается на количество единиц, содержащееся в вычитаемом числе.

Графический символ вычитания - знак "-" (минус). Компоненты вычитания называются:

7 - 3 = 4

7 - уменьшаемое
3 - вычитаемое
4 - разность

Так же, как и в сложении, вычитание может быть

• Без перехода через десяток

Рассматриваемый выше пример как раз таковым случаем и является:

7 - 3 = 4

Число 7 относится к первому десятку. Уменьшив его на 3 единицы, мы получили число 4, которое также стоит в числовом ряду от 0 до 10. Следовательно, перехода через десяток не было.

Или другой пример:

15 - 2 = 13

Число 15 относится ко второму десятку (от 11 до 20). Уменьшим 15 на 2 единицы, мы получили 13 и по-прежнему остались во втором десятке.

А если от 13 отнять 6, то это уже будет

• Вычитание с переходом через десяток

Ведь 13 - 6 = 7

13 - число, относящееся ко второму десятку, тогда как 7 - число первого десятка.

Если вычисление разности требует перехода через десяток, для удобства вычитаемое можно разложить по составу так, чтобы сначала дойти до круглого числа, и потом из него вычесть оставшиеся единицы. Вот таким образом:

В нашем примере 6 удобно представить в виде суммы 3 + 3. И тогда:

13 - 3 = 10

10 - 3 = 7

Закрепите на следующих примерах:

14 - 5 = 12 - 6 = 13 - 8 =
17 - 9 = 15 - 5 = 16 - 7 =

Подытоживая темы сложения и вычитания, рассмотрим примеры на сложение и вычитание в несколько действий.

8 - 2 + 7 =

Видим, что в данном числовом выражении есть сразу и вычитание, и сложение. Как такое решать? Постепенно!

1. 8 - 2 = 6
2. 6 + 7 = 13

Чтобы найти ответ, мы сначала от 8 отняли 2, а потом к полученной разности прибавили оставшееся число. Всё очень просто!

Попробуйте и убедитесь:

12 - 5 + 3 = 17 + 2 - 8 =
4 - 1 + 5 = 5 - 4 + 13 =
7 + 6 - 3 = 15 - 7 + 5 =

В одной статье мы узнали...

• Что такое сложение. Как называются компоненты сложения.
• Чем отличается сложение без перехода через десяток от сложения с переходом через десяток.
• Что такое вычитание. Вычитание без перехода через десяток и вычитание с переходом через десяток - как выполняется.
• Сложение и вычитание в одном числовом выражении - как решать примеры в несколько действий.

Ещё подробнее о каждой подтеме мы будем рассказывать в наших коротких статьях, затрагивающих узкое направление.